新道ブログ

宇宙はどのように認識できるのかーと大きく出てみたが、

何のことはない、最近、再履修し始めた電磁気学の内容が全く頭に入ってこないので宇宙がどうなっているのかから見直して考えてみたのである。

要するに電磁気学でいうマックスウエル方程式の言いたいことが何なのかが感覚的に理解できない。私にとっての認識とは、理系の仕事とは反対に、感覚的に納得できることなのである。数学式を覚えるのが苦手なのである。

そこで、宇宙（外界）を見てみると、何やら物体が互いに運動していることが分かる。

そこには力が働いてるというのがニュートン先生の教えだ。

これは分かりやすい。

力とは物体を動かし始めるために必要な何者かだ。地球上のすべての物体は、地球に向かって落下する力を受けている。それでリンゴが木から落ちるのである。力が働いていなければ、氷上のカーリングストーンのように
初速度のまま、動き続ける。（実際には多少の摩擦力でいつかは止まるのだが）

では、電磁気力とは何か。重力とどこが違うのか。

これは電荷と呼ばれる何者かが別の電荷と呼ばれる何者かに働く力だ。

物質は目に見える（ように見える）が、電荷はなかなか目には見えない。但しのその実体は、原子を構成する電子や、原子核の中にある陽子との間に働く力だ。

目には見えないが、摩擦をすることで、電子（便宜上負の電荷と呼ぶ）を原子から引きはがした下敷きは、正の電荷をもつので、他の物質に電磁気力を及ぼすことができる。そして、その物質内の負の電荷である電子を引き付けるので、髪など重量的に軽い物質の動きを誘い、目に見えるようになる。
更に磁気という力も物質には働く。分かりやすいのは磁石と鉄との関係だ。電荷をもたなくても両者は力を及ぼし合う。

では、その電磁気力を一般的に定式化できないか。これをまとめたのがマックスウエルが作ったマックスウエル方程式だ。

その成立の前には、クーロンやボルト、ガウスなど多くの学者がいて観察をし、力と電荷の関係式を導いた。

クーロンは距離ｒ離れた電荷Qと電荷qの間には

F＝KQｑ/ｒ2なる力が働くことを見出した。

（ＫはＱ，ｑ，ｒに依存しない定数（これら３変数の単位が決まれば一定値に決まる定数という意味））

力は方向を持つので、この式には方向性と電荷の正負の関係が必要だがここでは絶対値と考えている。

これをもう方向性や単位も含めて少し一般化したのが静電場という場である。

力を一般化するには場という考えがある。これも目には見えない。例えば重力場だ。地球も宇宙も複雑な重力の及ぼし合いで動いている。

これをクーロン力に適用したのが静電場ということになる。

電場の定期は「電荷（電気）をもつ物体のまわりにできる、ほかの電荷に力を及ぼす空間の状態」ということなので、3次元的に力を考える必要がある。

宇宙の中心にある量の電荷があればそこからr離れた位置ではその電荷の影響は半径rの表面積分だけ弱くなるはずである。

即ちその場の電場をEとすれば

E=ρ/（4πr^2*ε)ーーー（１）

となる。εは電荷と電場の関係を表す比例定数相当の係数であり、この場が真空中ならばε0（真空中の誘電率）と定義される。


ところで、電磁気学の教科書では

∇・Ｅ（ｘ）＝ρ（ｘ）/ε0ーーー（２）

と突然出てきてそのＥ（ｘ）が位置ｘの電場だと書かれている。この∇（ナブラ）が分からない。
（１）と（２）の式の類似性から推定するに∇は4πr＾2相当だから極座標で考えれば球の表面積となる。これにその場のEを乗じたものが内部の電荷に比例するということを言いたいらしい。

∇とは微小体積を対象にＥの微分を3次元的に行うことを示しているが、。電荷が内部に存在しなければ左辺もゼロなので、電場に∇を作用させた値（電場の発散というらしいが）は０になる。電荷が内部に存在していれば、その発散は電荷をε0で割った値になる。これが（2）式の意味である。

一般には真空以外の物質のεは大きいので同じρならばEは小さくなる。


ここで突然、ナブラと電場を視覚的に認識できる方法を思いついた。
それは、アインシュタイン博士の光ー光子説を応用することである。
即ち光は波であるが粒子でもあるという説を電場に応用することだ。

光は電磁波の一種であり、また光子でもある。従って電荷のある物質からは光子が常に発生している。それはある密度の粒子の束ともいえる。それが定常的に発生しているのだから、粒子密度は発生源（電荷のある物質）では一定である。これが宇宙空間に広がるのだから距離rの位置での光子束密度は単位体積当たり単位時間に光子１個発生するのであればその回りのr離れた球面での光子密度は単位面積当たり

１/４πr＾２

ということになる。全電荷が ρで、光子と電磁場の換算係数をεとすればちょうど（１）式になる。これが3次元空間を球対称と考えた場合の電場Eのの実態である。（１）式を変形して、位置ｒでの電荷をρ（ｒ）とすれば

4πr^2＊E=ρ（ｒ）/ε0ーーー（１）´

となる。これは真空における（２）式のr方向の積分形になる。しかし、空間は球対称となるとは限らない。球座標では残りのθ、φ方向も考えないといけない。（１）´式ではθ方向、φ方向はすでに積分されていると考えることができる。球座標ではなく、ｘ,y,z軸であらわされる直交座標で考えた3次元空間でも同じ話が成立しなければならない。直交座標系で微小体積当たりの光子密度を電場Ｅとするとこの関係はどうなるか。

これが、（２）式の左辺のナブラ（∇）を説明するためのポイントである。これは空間での微小体積当たりの光子密度をEと定義した場合の3次元ｘ、ｙ、ｘ方向偏微分を行った式なのである。
電場Eを定常的に光子を発生する光子線源からある位置にある微小体積当たりの光子密度と考えれば、（２）式は、その微小体積での光子密度がＥの空間変化、即ち偏微分を求める数学的作用子が∇・であり、それが光子の発生数に比例していると考えれば、ちょうど（２）式になる。なぜなら、3次元空間が、定常的に一定の光子を発生する高資源源を含んでいる場合、その外側の空間での各位置の単位体積当たりの光子密度は必ず偏微分で示す比率で減少していくからである。

ところで電場Eは微小空間の光子密度相当値とすればよいことは分かったが、静電ポテンシャルVなる値がありこれも良く出てくる。これは何なのか、テキストには
E（ｘ）＝-∇φ（ｘ）
なる式が出てくる。Ｅが電場であるなら、∇φはφの勾配を示すのだから、φはＥの積分に相当する。これが静電ポテンシャル（電位）となるそうだ。しかし、φは数学的な創造の産物と考えればいいだろう。この電位は単に電場をある空間のなかの曲線に沿って、（一般にはＥが等しい等高線に直行する方向に2点間を積分した値である。光子密度が実在である光子粒子の密度に相当するならば、光子密度を積分した数値の単位は光子個数ということになるが、それは電場が決まって、初めて定義できる値と考えたほうが分かりやすい。
　　　　　　　　　　　　　　　　x2
　φ（ｘ2）－φ（ｘ1）＝ー∫ E(x)dx
　　　　　　　　　　　　　　　 x1





もう一つの教科書に出てきた理解できない電場に関する基礎式は

∇×E（ｘ）＝0　　　ーーー（３）

というものである。∇・Ｅと一見同じだが、（３）式はＥの回転がゼロだという意味らしい。curlE、またはrotEとも表す。では回転とは何か

これは電場Eの偏微分を以下のようにとった場合の各ベクトル成分がすべて0の場合を示している。

ｘ成分は以下の第１項と第2項の差

第1項：ｚ方向に進むと、電場の ｙ 成分がどれだけ変化するか。
第2項：ｙ方向に進むと、電場の ｚ 成分がどれだけ変化するか。

ｙ成分は以下の第１項と第2項の差

第1項：ｘ方向に進むと、電場の ｚ 成分がどれだけ変化するか。
第2項：ｚ方向に進むと、電場の ｘ 成分がどれだけ変化するか。

ｚ成分は以下の第１項と第2項の差

第1項：ｙ方向に進むと、電場の ｘ 成分がどれだけ変化するか。
第2項：ｘ方向に進むと、電場の ｙ 成分がどれだけ変化するか。

このような特性はEが時間変化しない場合に相当するので静電場ではこのような電場の回転が0になるということで、磁場の時間変化による誘導電場に関係することになる。

前期の想定に示すように、電場Eが3次元空間内の定常状態での各位置の光子密度に比例するものであるならば、定常状態でこれらの偏微分の複合オペレータを電場に作用させた結果が3次元方向のすべてで0になるのは当然であろう。


しかし、ここでまた、光子と通常の粒子での大きな相違に気が付いてしまった。これが電場や重力場と言われる物理概念の成立に関わるものであろう。

即ち、光子というものは宇宙に一瞬にして広がる（実際には光速である３×１０^10cm/s）粒子なのである。例えば中性子であれば、一般に２km/s程度なので、粒子の流れをモデル化し、粒子線源の時間変化とは独立にその粒子束の時間的な変化が全体の挙動を決める。しかし、光子密度の分布は光子線源の変化により瞬間的に変わるので、全体の挙動が線源の変化と時間的に独立に動くことはない。これが電場という分かりにくい概念の発想の始まりなのだろう。重力場も重力波という（この速度は良く分かっていないようだが）宇宙全体に瞬間的に伝搬する波であり、重力子子の分布は物質分布の変化と同期するのだろう。

従って（２）式は電荷分布のみに依存し、時間項を考えなくて済む式になっているものと考えられる。但し、磁場の時間変化が電荷の発生に影響し、また、電荷分布の時間変化が磁場に影響することが分かっている。これらの関係まで含めて定式化したものが４つのマックスウエル方程式というものなのだろう。