シュレジンガー方程式でだまされた気分にならない方法 ― 2024年12月10日 10:43
古典物理と量子論のつなぎの部分で必ず出てくるシュレジンガー方程式はどんなテキストでもいつの間にかシュレジンガー方程式が導出されていてだまされた気分になる。
どこでそうなってしまうのか、だまされた気分がどこで生まれるのかを検証してみた。
だまされる元凶は３つあった。
元凶（１）光に運動量があることを認識できていない。
（答え） ドブロイ波とは光と同様、粒子も波であることである。
粒子に運動量があるように、光子にも運動量があることを忘れている。
相対論から粒子が高速であれば、粒子のエネルギーEは
E＝mc＾2/√（1-（ｖ/c)^2) (1)
運動量ｐも
ｐ=mv/√（1-（ｖ/c)^2)
となる。
∴cp=mvc/√（1-（ｖ/c)^2) （2）
（1）、（２）式の両辺を2乗して差し引くと
E^2-c^2p^2=m^2c^4
となるので粒子のエネルギーは
Ｅ＝√（m^2c^4+c^2p^2) (2)'
となる。光子ではmが0なので光子の場合の運動量とエネルギーは
E＝cp （3）
となる。一方、光電効果の実験よりプランク定数をh、光の振動数をνとすると、
E＝hν （4）
である。（４）は実験式である。
この（３）式と（4）式からシュレジンガー方程式で表れるプランク定数と波長と運動量の関係が得られる。即ち。
λは1秒間の光速を振動数で割ったものなので
λ＝c/ν＝h/p （５）
となる。
元凶（２）シュレジンガー方程式で運動エネルギーTが
T＝1/2ｍ*（h/λ）＾2 （６）
となることが分かりにくい。
（答え）これは１/2*mv^2が１/2m*p^2であることと、上記の（５）式からプランク定数とλで表せば理解できる。
元凶（３）波動関数の二階微分がどうしてシュレジンガー方程式に現れるのかわからない。
（答え）光波も物質波も波なのだから三角関数で表すのは適切だろう。定常波ならばsin関数でもよいだろう。波長がλとするとこの波動関数は
ψ＝sin2π(x/λ）
で妥当だろう。これをｘで二階微分してみると
d2ψ/dx2=-4π^2/λ＾2*sin2π(x/λ）
∴(d2ψ/dx2)/ψ＝-4π^2/λ＾2
この右辺のλ＾2を（６）式に代入すれば
T＝h^2/8π^2m＊(d2ψ/dx2)/ψ （７）
が得られる。
一方、粒子の全エネルギーEは
運動エネルギーTとポテンシャルエネルギーVの和なので
E＝V-T
Tに（７）式を代入して、ψを各項に乗じれば
Eψ＝Vψ-h^2/8π^2m＊(d2ψ/dx2)
となってシュレジンガー方程式が得られる。
やはり、どこかだまされた気分が残るが諦めるかなー。
と思っていたが、どこでだまされたのか考えたら分かった。
それは、（３）式の導出において第1項ではｍ＝０としておきながら、
pはｍが表に現れていないので生き延びているのである。
それでＥ＝ｃｐなる式が残っている。
ｐ＝mvなのだからこれも0になるはずであるのに残っている。
これはある近似を仮定していると考えざるを得ない。(2)'式で
m^2c^4<<c^2p^2
という近似である。
しかし、これは、粒子ならばvはｃより小さいはずなので
m^2c^4>c^2m^2ｖ＾2
となり成立しない。
即ち、（２）’式はＥ＝ｃｐを示すための方便なのである。
Ｅ＝ｃｐ
は運動エネルギーの次元を持っている。
E＝mc2
は質量とエネルギーの換算式だが、これが光では光電効果の実験からE＝hν
となる。光が波長を有しているのだから、Eと運動量との関係式さえわかればmｖと波長の関係もでてくる。そのために、ドブロイは敢えて光の運動量pなる変数を導入し（３）式を生成したのだろう。即ち、光の運動量はmvではなく、pという、量子力学でしか通用しない新物理量なのだと了解すれば、以上のジュレジンガー方程式の導出は、腑に落ちるのかもしれない。
ただし、光の運動量はコンプトン実験で証明されている。光の運動量と粒子の運動量が散乱前後で保存されるという前提では実験事実として（３）式を受け入れなければならない。
光電効果であれ、コンプトン散乱実験であれ、最近の量子もつれ実験であれ、実験事実を突きつけられれば、如何におかしい仮定であっても受け入れざるを得ない。それがヒトの想像力の限界だろう。
参考資料
（１）橋本健朗、安池智一「量子化学」放送大学出版
（２）齋藤勝裕「わかる×分かった！量子化学」オーム社
（３）中田宗孝「量子化学基本の考え方16章」東京化学同人
どこでそうなってしまうのか、だまされた気分がどこで生まれるのかを検証してみた。
だまされる元凶は３つあった。
元凶（１）光に運動量があることを認識できていない。
（答え） ドブロイ波とは光と同様、粒子も波であることである。
粒子に運動量があるように、光子にも運動量があることを忘れている。
相対論から粒子が高速であれば、粒子のエネルギーEは
E＝mc＾2/√（1-（ｖ/c)^2) (1)
運動量ｐも
ｐ=mv/√（1-（ｖ/c)^2)
となる。
∴cp=mvc/√（1-（ｖ/c)^2) （2）
（1）、（２）式の両辺を2乗して差し引くと
E^2-c^2p^2=m^2c^4
となるので粒子のエネルギーは
Ｅ＝√（m^2c^4+c^2p^2) (2)'
となる。光子ではmが0なので光子の場合の運動量とエネルギーは
E＝cp （3）
となる。一方、光電効果の実験よりプランク定数をh、光の振動数をνとすると、
E＝hν （4）
である。（４）は実験式である。
この（３）式と（4）式からシュレジンガー方程式で表れるプランク定数と波長と運動量の関係が得られる。即ち。
λは1秒間の光速を振動数で割ったものなので
λ＝c/ν＝h/p （５）
となる。
元凶（２）シュレジンガー方程式で運動エネルギーTが
T＝1/2ｍ*（h/λ）＾2 （６）
となることが分かりにくい。
（答え）これは１/2*mv^2が１/2m*p^2であることと、上記の（５）式からプランク定数とλで表せば理解できる。
元凶（３）波動関数の二階微分がどうしてシュレジンガー方程式に現れるのかわからない。
（答え）光波も物質波も波なのだから三角関数で表すのは適切だろう。定常波ならばsin関数でもよいだろう。波長がλとするとこの波動関数は
ψ＝sin2π(x/λ）
で妥当だろう。これをｘで二階微分してみると
d2ψ/dx2=-4π^2/λ＾2*sin2π(x/λ）
∴(d2ψ/dx2)/ψ＝-4π^2/λ＾2
この右辺のλ＾2を（６）式に代入すれば
T＝h^2/8π^2m＊(d2ψ/dx2)/ψ （７）
が得られる。
一方、粒子の全エネルギーEは
運動エネルギーTとポテンシャルエネルギーVの和なので
E＝V-T
Tに（７）式を代入して、ψを各項に乗じれば
Eψ＝Vψ-h^2/8π^2m＊(d2ψ/dx2)
となってシュレジンガー方程式が得られる。
やはり、どこかだまされた気分が残るが諦めるかなー。
と思っていたが、どこでだまされたのか考えたら分かった。
それは、（３）式の導出において第1項ではｍ＝０としておきながら、
pはｍが表に現れていないので生き延びているのである。
それでＥ＝ｃｐなる式が残っている。
ｐ＝mvなのだからこれも0になるはずであるのに残っている。
これはある近似を仮定していると考えざるを得ない。(2)'式で
m^2c^4<<c^2p^2
という近似である。
しかし、これは、粒子ならばvはｃより小さいはずなので
m^2c^4>c^2m^2ｖ＾2
となり成立しない。
即ち、（２）’式はＥ＝ｃｐを示すための方便なのである。
Ｅ＝ｃｐ
は運動エネルギーの次元を持っている。
E＝mc2
は質量とエネルギーの換算式だが、これが光では光電効果の実験からE＝hν
となる。光が波長を有しているのだから、Eと運動量との関係式さえわかればmｖと波長の関係もでてくる。そのために、ドブロイは敢えて光の運動量pなる変数を導入し（３）式を生成したのだろう。即ち、光の運動量はmvではなく、pという、量子力学でしか通用しない新物理量なのだと了解すれば、以上のジュレジンガー方程式の導出は、腑に落ちるのかもしれない。
ただし、光の運動量はコンプトン実験で証明されている。光の運動量と粒子の運動量が散乱前後で保存されるという前提では実験事実として（３）式を受け入れなければならない。
光電効果であれ、コンプトン散乱実験であれ、最近の量子もつれ実験であれ、実験事実を突きつけられれば、如何におかしい仮定であっても受け入れざるを得ない。それがヒトの想像力の限界だろう。
参考資料
（１）橋本健朗、安池智一「量子化学」放送大学出版
（２）齋藤勝裕「わかる×分かった！量子化学」オーム社
（３）中田宗孝「量子化学基本の考え方16章」東京化学同人
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