ポアソン解析での母数と説明変数の関係分析: 新道ブログ

　あるRのスクリプトを読んでいたら

母数のベースラインの式が

exp(a+blog(x)+clog^2(x))

だという。なんでこうなるのか。

ポアソン回帰分析のテキスト（豊田秀樹「Rで学ぶ回帰分析入門」（東京図書）によれば、

log(λi）＝β＋Σβixij

なので

λ=exp(β+log(βjxj))

となってもよさそうではある。ただ、quadratic splineとしたところがよくわからない。

ChatGPTの答えは
ChatGPT
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2次スプライン関数（二次多項式スプライン）が a（年齢）でスムーズ になる理由は、
「つなぎ目（ノット）で多項式をつなぐときに関数値と**1階微分（傾き）**が連続するようにパラメータを制約している」からです。
1. 普通の二次関数だと

1本の二次式（例 y=β0+β1a+β2a2y=β0​+β1​a+β2​a2）だと、全域で同じ曲率を持ちます。
年齢ごとの増加パターンが変化する場合はうまくフィットしません。
2. スプラインは区間ごとに別の二次式

年齢70歳に**ノット（knot）**を置くと、

a≤70a≤70 の区間と

a>70a>70 の区間
で別々の二次式を使います。

3. 「スムーズ」になる条件

スプラインは、単に式をつなぐだけではなく、ノットで以下の条件を課します：

関数値が連続
fleft(70)=fright(70)
fleft​(70)=fright​(70)

1階微分が連続
fleft′(70)=fright′(70)
fleft′​(70)=fright′​(70)

これにより、年齢70歳で段差や折れ目がなく、自然に曲率が変わる形になります。
4. LSSでの log(a/70) 形式との関係

LSSのモデル式
cslog⁡(a/70)+bslog⁡2(a/70)+gslog⁡2(a/70)⋅I(a>70)
cs​log(a/70)+bs​log2(a/70)+gs​log2(a/70)⋅I(a>70)

は、

log⁡(a/70)log(a/70) とその2乗で「全域の曲線」を作り、

I(a>70)I(a>70)（指示関数）をかけて70歳以上に追加の曲率 gsgs​ を入れる
ことで、「70歳で滑らかにつながる」二次スプラインを実現しています。

5. イメージ

70歳を境に曲率を変えるが、接続部では段差・折れ線がない

高齢側だけ追加のカーブを入れられるので、
若〜中年と高齢期で異なる上昇パターンを表現可能

のようなもので、結構恣意的なモデルである。
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ところで、Rではデータセットでの目的変数と説明変数の関係が、かなり恣意的にある関数で変わる暗黙の了解がある。これを知っていないとRスクリプトを読み間違えることになる。それがFamilyという変数である。ポアソン回帰分析を使用する場合にはFamily＝poissonと指定するがこの指定により、回帰式の変数扱いが勝手に変わるので注意が必要だ。その説明が下記である

ChatGPT
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glm() の式や変数の解釈は family の種類によって変わります。
特に Poisson 回帰（family = poisson()）では、リンク関数（link = "log" が既定）やオフセットの扱いが他の回帰とは異なります。
1. 基本的な考え方

glm() は
g(μ)=Xβ+offset
g(μ)=Xβ+offset

という形でモデルを構築します。

$\mu$ : 応答変数の期待値 E[Y]E[Y]

$g(\cdot)$ : リンク関数（family によって異なる）

$X\beta$ : 説明変数と係数の線形結合

offset : 固定的に加える値（係数は推定しない）

2. familyごとの違い
family デフォルトリンク $\mu$ の意味 オフセットの役割
gaussian identity 平均値 単に切片に足される
binomial logit 確率 pp logit(p) に加える定数
poisson log 発生率・強度 対数スケールで加える（例: 期間や人口の補正）
3. Poisson回帰の場合
3.1 モデル式

Poisson回帰（link = "log"）では
log⁡(μi)=Xiβ+offseti
log(μi​)=Xi​β+offseti​

となり、指数を取ると
μi=exp⁡(Xiβ+offseti)
μi​=exp(Xi​β+offseti​)
3.2 オフセットの典型例

事故件数を「観測時間」や「母集団規模」で補正する場合
例えば観測時間 titi​ がある場合：

glm(y ~ x1 + x2 + offset(log(t)), family = poisson, data = df)

ここで log(t) が直接線形予測子に加わります。
つまりモデルは
log⁡(μi)=Xiβ+log⁡(ti)
log(μi​)=Xi​β+log(ti​)
μi=ti⋅exp⁡(Xiβ)
μi​=ti​⋅exp(Xi​β)

の形になります。
4. なぜ Poisson では log が絡むのか

Poisson分布の期待値は非負でなければならないため、リンク関数として log を用いるのが自然です（指数を取ると必ず正になる）。
オフセットも log スケールに置かれるため、「乗算効果」をモデルに組み込むのに便利です。
5. よくある混乱点

gaussian では offset は単純に足し算されるが、poisson では log スケールに足される

Poisson 回帰で観測期間を補正するとき、オフセットに生の期間 tt を入れるのではなく、log(t) を入れる必要がある

family を変えるとリンク関数が変わるため、同じ式に見えてもパラメータの意味が変わる
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このような整合性、一貫性のないスクリプトの世界に生きている我々はどこに連れていかれるのだろうか。AIを制御できるのは誰なのだろうか。